Question

如图在菱形ABCD中,∠B=60°,E,F分别在BC,CD边上的动点,且∠EAF=60°,

若连结EF,则△AEF是怎样的三角形，说明理由，
当AB=2时，四边形AECF的面积是否随E，F的面积改变而改变，若不变，求出它的值过程用几何语言表示，若会改变，说明理由

Answer 1

第一个问题：
△AEF是等边三角形。　证明如下：
∵ABCD是菱形、∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°、AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，∴∠ACF＝60°。

∵ABCD是菱形、∠B＝60°，∴∠ECF＝120°。
由∠EAF＝60°、∠ECF＝120°，得：A、E、C、F共圆，∴∠AEF＝∠ACF＝60°。
∵∠EAF＝∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形。

第二个问题：
四边形AECF的面积＝√3。　证明如下：
在AC上取点G，使CG＝CF。
∵CG＝CF、∠GCF＝60°，∴△CFG是等边三角形，∴GF＝CF＝CG、∠CGF＝60°，
∴∠AGF＝120°。
∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°、AF＝EF。
∵A、E、C、F共圆，∴∠ACE＝∠AFE＝60°、∠FAG＝∠FEC。
由AF＝EF、∠FAG＝∠FEC、∠AGF＝∠ECF＝120°，得：△AGF≌△ECF，∴AG＝EC，
∴AC＝AG＋CG＝AG＋CF＝EC＋CF。

于是：
四边形AECF的面积
＝△ACE的面积＋△ACF的面积
＝（1/2）AC×ECsin∠ACE＋（1/2）AC×CFsin∠ACF
＝（1/2）AC（ECsin60°＋CFsin60°）
＝（1/2）AC（EC＋CF）sin60°
＝（1/2）AC^2×（√3/2）
＝（√3/4）AC^2。

∵∠B＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∴AC^2＝4。
∴四边形AECF的面积＝（√3/4）×4＝√3。