Question

相似三角形综合性问题，兄弟们，快啊！！

在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10cm,ac∶bc=3∶4，点p从点A出发沿着AB的方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发，沿着B→C→A的方向像点A运动，速度为2cm/s。当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止。
1.求ac、bc的长
2.设点p运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm²）。当△PBQ存在是，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。
3.当点Q在ca上运动时，PQ⊥AB。以点B、P、Q为顶点的三角形是否与△ABC相似，请说明理由。
4.当x=5是，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM周长最小。如果存在，请求出周长；如果不存在，请说明理由。
兄弟们啊，快啊......................

Answer 1

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
∴ ，∴QH= x，y= BPoQH= （10﹣x）o x=﹣ x2+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
∴ ，即： ，解得：QH′= （14﹣x），
∴y= PBoQH′= （10﹣x）o （14﹣x）= x2﹣ x+42（3＜x＜7）；
3）∵AP=x，AQ=14﹣x，
∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴ ，即： ，
解得：x= ，PQ= ，∴PB=10﹣x= ，∴ ，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似
（4）存在．
理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16

Answer 2

（1）
∵RT三角形ABC AC:BC=3:4
∴AC:BC:AB=3:4:5
∵AB=10/1=10cm
∴AC/3=AB/5
AC/3=10/5
AC=6
∴BC/4=AB/5
BC/4=10/5
BC=8
∴AC=6cm BC=8cm

Answer 3

　　存在．

　　理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

　　∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，

　　∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，

　　∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16