lim{[(1+1/n)^n]^n}*e^(-n) n→+∞ 为什么不能用公式（1+1/n）^n=e带入算 答案是e^(-1/2)
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首先转换成连续函数的极限
lim {(1+1/x)^x}^x * e^(-x)
=lim {(1+1/x)^x}^x / e^x
令 y = {(1+1/x)^x}^x / e^x
则 lny =x^2ln(1+1/x) - x
令 t = 1/x，则x→+∞的条件转换为t→0
lny = [ln(1+t)-t]/t^2
根据洛必达法则
lim lny = [1/(1+t) - 1]/2t
t→0时，上式=-1/2
因此lim y = e^(-1/2)
lim {(1+1/x)^x}^x * e^(-x)
=lim {(1+1/x)^x}^x / e^x
令 y = {(1+1/x)^x}^x / e^x
则 lny =x^2ln(1+1/x) - x
令 t = 1/x，则x→+∞的条件转换为t→0
lny = [ln(1+t)-t]/t^2
根据洛必达法则
lim lny = [1/(1+t) - 1]/2t
t→0时，上式=-1/2
因此lim y = e^(-1/2)
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追问
谢谢，但是请问这里为什么不能用公式（1+1/n）^n=e代换？
追答
代入后你会发现仍然是一个“无穷除以无穷”的局面，表面上似乎可以约去，但实际上这是在做了一次极限之后继续做的，并不是特别严谨让人信服
可以想象到（1+1/n）^n和e之间总会存在一定的误差，在n趋向于无穷时，这个误差趋向于0；但是当（1+1/n）^n还需要进行一些无穷的操作时，例如题目中的n次方，这个趋向于0的误差是不是就不能忽略了呢？
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