Question

双曲线，椭圆，曲线的概念和公式

Answer 1

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。 　　1.a、b、c不都是零. 　　2. b^2 - 4ac > 0. 　　3.a^2+b^2=c^2 　　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 　　椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： F点在X轴
　　1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 　　2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0) 　　其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系：b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。 　　又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n)。即 F点在Y轴
标准方程的统一形式。 　　椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 　　标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 ：xx0/a^2+yy0/b^2=1
椭圆的一般方程
　　Ax^2+By^2=C（A>0，B>0，且A≠B)
按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相 当于是说：(1.)R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的。(2.)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。(3.)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。
基本公式
　　设正则曲线C的参数方程为r=r(s)，s是弧长参数，p(s)是曲线C上参数为s即向径为r(s)的一个定点。Q(s+Δs)为C上邻近p的点，Q沿曲线C趋近于p时，割线pQ的极限 曲线
位置称为曲线C在p点的切线。过p点与切线垂直的平面称为曲线 C在p点的法平面。曲线C在p点的切线及C上邻近点R确定一个平面σ,σ的极限位置称为曲线C在p点的密切平面，它在p点的法线称为曲线C在p点的次法线，曲线C在p点的切线和次法线决定的平面称为曲线C在p点的从切平面。p点的法线称为曲线C在p点的主法线（图2）。 　　曲线 　　以"·"表示关于弧长参数s的导数,并且设 曲线
　　那和b(s)=t(s)×n(s)分别是曲线C在p(s)点的切线、主法线和次法线上的单位向量，并且t(s)指向曲线 C的正向。n(s)指向曲线凹入的一方。t(s)、n(s)和b(s)按此顺序构成右手系，且分别称为曲线C在p(s)点的切向量、主法向量和次法向量。{r(s),t(s),n(s),b(s)}称为曲线C在p(s)点的弗雷内标架。曲线 　　C的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系，要讨论t(s)、n(s)和b(s)关于s的导向量，它们可由标架向量线性表出，这就是下述曲线论的基本公式（弗雷内公式）： 曲线
　　式中k(s)和τ(s)分别被称为曲线C在p(s)点的曲率和挠率。曲率 　　曲率 　　这是切向量t(s)和t(s+Δs)之间的夹角。故曲率度量了曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为 0。圆周的曲率等于其半径的倒数。当曲线C在p(s)点的曲率k≠0时，在p(s)点的主法线上沿n(s)的正向取点Q，使得pQ=1/k,在p点的密切平面上以Q为中心，1/k为半径的圆称为曲线C在p点的曲率圆或密切圆，Q和1/k分别称为曲率中心和曲率半径。密切圆是过曲线C上p(s)点和邻近两点的圆的极限位置。挠率 　　挠率　 曲线
　　，它的绝对值 曲线
　　度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上，则称为挠曲线。 　　若p0(s0)点的曲率和挠率均不为零，取p0为原点，曲线的切线、主法线和次法线为坐标轴，在p0附近，曲线可近似地表示为： 曲线
　　所以曲线C在p0点邻近的近似形状。