Question

两道定积分题。

（x乘以cosx的三次方）除以（x平方+1）dx 定积分范围是 -1到1

另一题

（a平方-x平方）的二分之五次方 dx 定积分范围是 0到a

谢谢帮助啦！！

Answer 1

第一题其实很简单，根本就不要算就知道答案，答案为0，
看其你给我看的积分对象，首先x是奇函数，cosx是偶函数，cosx的三次方也是偶函数，偶函数乘以偶函数为偶函数，奇函数乘以偶函数为奇函数，x乘以cosx的三次方为奇函数，很明显（x平方+1）分之1是偶函数，所以整个式子为奇函数，定积分范围是 -1到1，范围是对称的，所以积分为0。
第二题
用换元积分法求解。令x=asint，之后用部分积分法算答案是2*a^3)/3

Answer 2

1、由于被积函数是奇函数，积分区间是对称区间，因此结果为0.
2、∫[0--->a] (a²-x²)^(5/2) dx
换元法：令x=asint，(a²-x²)^(5/2)=a⁵cos⁵t，dx=acostdt，t：0---->π/2
=∫[0--->π/2] a⁵cos⁵t*acost dt
=a⁶∫[0--->π/2] cos⁶t dt
降幂，以下省略积分限
=(a⁶/8)∫(1+cos2t)³dt
=(a⁶/8)∫(1+3cos2t+3cos²2t+cos³2t)dt
里面的cos²2t还需要降幂
=(a⁶/8)∫(1+3cos2t+(3/2)(1+cos4t)+cos³2t)dt
=(a⁶/8)∫(5/2+3cos2t+(3/2)cos4t)dt+(1/8)∫cos³2tdt
=(a⁶/8)(5t/2+(3/2)sin2t+(3/8)sin4t)+(1/16)∫cos²2td(sin2t)
=(a⁶/8)(5t/2+(3/2)sin2t+(3/8)sin4t)+(1/16)∫[1-sin²2t]d(sin2t)
=(a⁶/8)(5t/2+(3/2)sin2t+(3/8)sin4t)+(1/16)[sin2t-(1/3)sin³2t] |[0---->π/2]
=5πa⁶/32

Answer 3

1.0
2.2*a^3)/3