Question

数学不等式放缩法证明

用放缩法证明：(1/2)- 1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<n-1/n(n=2,3,4,...). 用放缩法证明：1+（1/根号2）+(1/根号3)+...+(1/根号n)<2根号n.

Answer 1

第一题
1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
>1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/[n(n+1)]
=1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1/2-1/(n+1)
因此1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2.

1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
<1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
=(n-1)/n
因此1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n

综上，1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
第二题
因为当k≥2时，1/√k=2/(2√k)＜2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))。
所以
1+1/√2+1/√3+⋯+1/√n＜1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+⋯+2(√n-√(n-1))=2√n-1<2√n

Answer 2

1题：∵1/k²＞1/【k(k+1)】=1/k﹣1/(k+1)
两边求和，即得待证不等式。
2题：容易验证2/√k＜1/（√(k-1)+√k）=√k﹣√(k-1)
两边求和，得左边＜2√n﹣2+1＜2√n

Answer 3

aa