Question

在△ABC中，三个角A.B.C.的对边分别为a.b.c.，且A.B.C.成等差数列，a.b.c.成分等比数列，求证△ABC为等...

在△ABC中，三个角A.B.C.的对边分别为a.b.c.，且A.B.C.成等差数列，a.b.c.成分等比数列，求证△ABC为等边三角形。

Answer 1

A.B.C.成等差数列
则3B=180°
B=60°
a.b.c.成分等比数列
设公比为q
则：a=b/q；c=bq
由余弦定理得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
(b²/q²+b²q²-b²)/(2b²)=1/2
1/q²+q²-2=0
(q-1/q)²=0
q=1/q
q²=1
q=1
所以：a=b=c
所以：△ABC为等边三角形

Answer 2

A.B.C.成等差数列，∠B=60°
a.b.c.成分等比数列b^2=ac
又a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
a=ksinA,c=ksinC,b=ksinB
b^2=ac得
sinAsinC=sin^2B
1/2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1/2(1+cos2B)
cos(A-C)=1
A=C=B

Answer 3

A+C=2B 180-B=2B B=60度 cosB=1/2
ac=b^2
b^2=a2+c^2-2accosB
ac=a2+c^2-2ac*1/2
(a-c)^2=0
a=c
又B=60度
所以△ABC为等边三角形。

Answer 4

A.B.C.成等差数列,角B=60°，a.b.c.成分等比数列，b²=ac，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，得ac=a²+c²-ac，即a²+c²-2ac=0，(a-c)²=0，所以a=c，所以△ABC为等边三角形。