Question

已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项，其中a是不等于零的

已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项，其中a是不等于零的常数．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

Sn是2a与-2nan的等差中项，则2Sn=2a-2nan
Sn=a-nan
n=1时，S1=a1=a-a1 2a1=a a1=a/2
n=2时，S2=a1+a2=a/2 +a2=a-2a2，整理，得3a2=a/2 a2=a/6
n=3时，S3=a1+a2+a3=a/2+a/6+a3=2a/3+a3=a-3a3 4a3=a/3 a3=a/12
(2)
变形：
a1=a/2=a/(1×2) a2=a/6=a/(2×3) a3=a/12=a/(3×4)
猜想：an=a/[n(n+1)]
证：
n=1时，a1=a/2=a/(1×2)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，表达式成立，即ak=1/[k(k+1)]，则当n=k+1时，
S(k+1)=a-(k+1)a(k+1)
Sk=a-kak
S(k+1)-Sk=a(k+1)=a-(k+1)a(k+1)-a+kak
(k+2)a(k+1)=kak
[(k+1)+1]a(k+1)=ka/[k(k+1)]=a/(k+1)
a(k+1)=a/[(k+1)((k+1)+1)]，表达式同样成立。
综上，得数列{an}的通项公式为an=a/[n(n+1)]。