Question

(1)已知a,b,c属于R，指出a方+b方+c方与ab+bc+ca的大小关系，并加以证明.(2)已知a,b,c属于R，且同时满足...

(1)已知a,b,c属于R，指出a方+b方+c方与ab+bc+ca的大小关系，并加以证明.(2)已知a,b,c属于R，且同时满足下列三个不等关系a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0

Answer 1

(1)因为(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>=0
而(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca=2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)
所以2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)>0
所以a²+b²+c²>ab+bc+ca
(2)用反证法，
abc>0,所以a≠0，所以a>0或a<0,
假设a<0,所以bc<0,又因为ab+bc+ca>0，所以ab+ca>0，即a（b+c)>0,而a<0,所以b+c<0,所以a+b+c<0与a+b+c>0矛盾.所以a>0

Answer 2

a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
三式相加得a²+b²+b²+c²+a²+c²≥2ab+2ac+2bc
即a²+b²+c²≥ab+bc+ca