Question

方程x^3-6x^2+9x-10=0的实根个数是多少？

Answer 1

f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3=3(x-3)(x-1)
令f'(x)≤0
3(x-3)(x-1)≤0
1≤x≤3
f(x)在区间[1，3]上单调递减，在(-∞，1]上和[3，+∞)上都单调递增。
f(1)=1-6+9-10=-6<0，f(x)在(-∞，1]上恒<0
f(x)在[1，3]上单调递减，在[1，3]上恒<0
f(x)在[3，+∞)上单调递增，f(10)=1000-600+90-10=480>0
又f(x)连续，f(x)在区间[3，+∞)上和x轴有且仅有一个交点。
方程的实数根的个数是1，即仅有一个实根。

Answer 2

y=x^3-6x^2+9x-10
y'=3x^2-12x+9
=3(x-1)(x-2)
y在x∈（1,2）单调递减
y在x∈（-∞,1），（2，+∞）单调递增
f(1)=1-6+9-10=--6
f(2)=8-24+18-10=-12
由单调性可得，他的实数根只有一个。

Answer 3

求f(x)=x^3-6x^2+9x-10 导数 f'(x)=3x^2-12x+9
令f'(x)=0 得，x=1 或3
所以f(x) 在(-无穷，1)，(3,+无穷)上是增函数
f(x)在(1,3)上是减函数
f(1)=-6,f(3)=-10
在(-无穷，1) 值域是(-无穷，-6)无根
在(1,3)上值域(-6,-10)无根
在(3,+无穷)上是（-10,+无穷）有一个根
所以根个数是1

Answer 4

x^3-6x^2+9x-10=0
x(x-3)²=10
实根个数是2个