Question

(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0求齐次方程的通解

Answer 1

解：dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入上式得：
u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du)
取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)
两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)]
故得x=C₁/√(1-2u³)]，将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³)
于是得√(x³-2y³)=C₁√x
平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx，其中C=C²₁

Answer 2

等式(x^3+y^3)dx=3xy^2dy两边同时除以x^3则可以得到[(y/x)^3+1]dx=3(y/x)^2dy 再令y=ux则dy=udx+xdu带入求的(1-2u^3)^(1/2)=(x+c)^2 在带入u即可