如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是
如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是线段PD上一点,F是线段AB上一点,且PE/ED=BF/FA=λ(λ>...
如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是线段PD上一点,F是线段AB上一点,且PE/ED=BF/FA=λ(λ>0)1判断EF与平面PBC的关系,并证明2当λ为何,DF⊥平面PAC,兵证明
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在PA上找一点M,使得PE/ED=PM/MA=λ,(λ>0),连结ME,MF,
根据三角形平行比例线段性质,
则ME//AD,而四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,
∴ME//BC,
同理,BF/FA=PE/ED=λ(λ>0),
∴BF/FA=PM/MA,
∴MA//PB。
∵PB∩BC=B,
ME∩MA=M,
∴平面MEF//平面PBC,
∵EF∈平面MEF,
∴EF//平面PBC。
2、连结AC,
∵PA⊥平面ABCD,DF∈平面ABCD,
∴DF⊥PA,
要使DF⊥平面PAC,
则DF⊥AC,
问题转换成平面几何问题,
设AC和DF交于N,
根据勾股定理,AC=√3,
DB*AC/2=AD*CD/2=S△ADC,
DN=1*√2/√3=√6/3,
AN=√(AD^2-DB^2)=√(1-6/9)=√3/3,
∵RT△ANF∽RT△ABC,
∴AF*AB=AN*AC,
∴AF=(√3/3)*√3/√2=√2/2,
∴F是AB的中点,
BF/AF=1,
BF/AF=PM/MA=PE/ED=λ=1,
∴当λ=1时,DF⊥平面PAC。
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