如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是

如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是线段PD上一点,F是线段AB上一点,且PE/ED=BF/FA=λ(λ>... 如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是线段PD上一点,F是线段AB上一点,且PE/ED=BF/FA=λ(λ>0)1判断EF与平面PBC的关系,并证明2当λ为何,DF⊥平面PAC,兵证明 展开
看涆余
2012-04-20 · TA获得超过6.7万个赞
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在PA上找一点M,使得PE/ED=PM/MA=λ,(λ>0),连结ME,MF,

根据三角形平行比例线段性质,

则ME//AD,而四边形ABCD是矩形,

∴渣漏AD//BC,

∴ME//BC,

同理,BF/FA=PE/ED=λ(λ>0),

∴BF/FA=PM/MA,

∴MA//PB。

∵PB∩BC=B,

ME∩MA=M,

∴平面MEF//平面PBC,

∵EF∈平面MEF,

∴EF//平面PBC。

2、连结AC,

∵PA⊥平面ABCD,DF∈平面ABCD,

∴DF⊥PA,

要使DF⊥平面PAC,

则DF⊥AC,

问题转换成平面几何问题枝巧,

设AC和DF交于N,

根猛梁键据勾股定理,AC=√3,

DB*AC/2=AD*CD/2=S△ADC,

DN=1*√2/√3=√6/3,

AN=√(AD^2-DB^2)=√(1-6/9)=√3/3,

∵RT△ANF∽RT△ABC,

∴AF*AB=AN*AC,

∴AF=(√3/3)*√3/√2=√2/2,

∴F是AB的中点,

BF/AF=1,

BF/AF=PM/MA=PE/ED=λ=1,

∴当λ=1时,DF⊥平面PAC。

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