Question

如图，四棱锥p-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是

如图，四棱锥p-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=√2AD,E是线段PD上一点，F是线段AB上一点，且PE/ED=BF/FA=λ(λ>0)1判断EF与平面PBC的关系，并证明2当λ为何，DF⊥平面PAC,兵证明

Answer 1

在PA上找一点M，使得PE/ED=PM/MA=λ，(λ>0）,连结ME，MF，

根据三角形平行比例线段性质，

则ME//AD，而四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴ME//BC，

同理，BF/FA=PE/ED=λ(λ>0)，

∴BF/FA=PM/MA，

∴MA//PB。

∵PB∩BC=B，

ME∩MA=M，

∴平面MEF//平面PBC，

∵EF∈平面MEF，

∴EF//平面PBC。

2、连结AC，

∵PA⊥平面ABCD，DF∈平面ABCD，

∴DF⊥PA，

要使DF⊥平面PAC，

则DF⊥AC，

问题转换成平面几何问题，

设AC和DF交于N，

根据勾股定理，AC=√3，

DB*AC/2=AD*CD/2=S△ADC，

DN=1*√2/√3=√6/3，

AN=√（AD^2-DB^2)=√（1-6/9）=√3/3，

∵RT△ANF∽RT△ABC，

∴AF*AB=AN*AC，

∴AF=（√3/3）*√3/√2=√2/2，

∴F是AB的中点，

BF/AF=1，

BF/AF=PM/MA=PE/ED=λ=1，

∴当λ=1时，DF⊥平面PAC。