Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，∠A=30度，CD是角平分线。

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，∠A=30度，CD是角平分线。观察或度量AC、BC、BD的长，你是否猜想有什么结论？你能否通过说理正式自己的猜想是正确的？

Answer 1

BD=AC-BC。为了使证明简单，在此令BC=1，AC=√3，AB=2。由余弦定理：cosA=AC^2+AD^2-CD^2/(2.AC.AD）=3+（2-BD）^2-CD^2/2*(2-BD)*√3=√3/2，即1+BD^2-BD-CD^2=0。由正弦定理：CD/sinA=AD/sin45°，即2CD=(2-BD)/√2，所以CD^2=(2-BD)^2/2。所以由上可得BD^2+2BD-2=0，即BD=√3-1=AC-BC或BD=-√3-1（舍去）。完毕。希望有帮到你。祝学习进步

Answer 2

AC-BC=BD
证明：
设BC=1，
∵∠ACB=90º，∠A=30º
∴AB=2，AC=√3
∵CD平分∠ACB
∴AC/BC=AD/BD
√3=（2-BD）/BD
解得：BD=2/(√3+1)=√3-1
∴AC -BC =BD