Question

关于洛必达法则求极限的条件问题

课本上洛必达法则的第二个条件是“在a的‘去心’邻域内,分子和分母的导数都存在且分母的导数不为0”,但是为什么lim(sinax)/(sinbx) x趋近于0(b不等于0)可以用洛必达呢?明明(sinbx)'=bcosbx在0的“去心”邻域内存在等于0的情况不符合这一条件啊.不知道是哪里理解错了,跪求指导!
…不管3721么?但我还是纠结啊T T是我又钻牛角尖了吧…T T无论如何很感激你这么耐心啊!

Answer 1

导数是不等于0，当x趋于0时，cosbx趋于1，分母的导数趋于b，因此存在一个去心邻域，使得（sinbx)'不等于0，满足条件啊。
三个条件：1、是0/0型的不定式（当然其他的也有对应的要求）
2、分子分母分别可以求导，且分母的导数不为0；
3、lim f'(x)/g'(x)有极限。
这三个条件的验证：1是必须验证的，2是容易验证的；只有3是稍微有点难得。
实际中就是不管3*7=21，尽管分子分母求导下去，直到做到某一步求出极限了，那么，根据定理，前面的等号就是成立，因为三个条件都满足啊。
这就是用洛必达法则得程序。比如上面的题，是0/0型，然后不管2*7=21，求导得
acosax/(bcosbx)，到这一步已经出来极限了，是a/b，那么结果就出来了。
于是lim sinax/sinbx=lim acosax/bcosbx=a/b。这就是详细的做题过程。
这个不管2721是指你只管计算下去，知道最后计算出一个极限值。
只要中间的这些极限仍然是0/0型，或者到最后一步得到结果了，那么就可以这么做。

Answer 2

x→0
ax→0,bx→0