Question

已知函数f(x)=x-ln(1+x)/(1+x),若f（x)在区间[m,n](0≤m＜n)上的值域为[km.kn],试求k的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x-ln(1+x)/(1+x),若f（x)在区间[m,n](0≤m＜n)上的值域为[km.kn],试求k的取值范围
解此类题的基本方法：
1首先要弄清函数f(x)在区间[m,n]上的单调性及极值情况；
2其次计算函数在区间端点的值；
3确定取值域的最大和最小值的位置；
4求出k值。
解析：∵函数f(x)=x-ln(1+x)/(1+x)，其定义域为x>-1
令f’(x)=1-[1-ln(1+x)]/(1+x)^2=0==>x=0
X∈(-1,0)时，f’(x)<0；X∈(0,+∞)时，f’(x)>0；
∴函数在x=0处取极小值；
∵f（x)在区间[m,n](0≤m＜n)上的值域为[km.kn]
∴f（x)在区间[m,n]单调增；
则f(m)=m-ln(1+m)/(1+m)=km, f(n)=n-ln(1+n)/(1+n)=kn
设k=g(m)=1-ln(m+1)/(m+m^2) m∈[0,n)
G’(m)=-[(m+m^2)/(m+1)-ln(m+1)(1+2m)]/(m+m^2)^2
=[ln(m+1)(2m^2+3m+1)-(m+m^2)]/[(m+1)(m+m^2)^2]
∵m>0,∴g’(m)>0,函数g(m)单调增；
g(0)=0
当m趋近+∞时，g(m)趋近1
∴k的取值范围为[0,1)