Question

求幂级数 ∑(-1)^nx^(2n+1)/2n+1 的收敛半径，收敛域

Answer 1

收敛半径由柯西-阿达马公式知道是1，收敛域是单位圆盘去掉点i和-i。定义函数f(x)为1/(1+te^{2ix})对t从0到1积分。此f为pi周期函数，在]-pi/2,pi/2[上光滑，而且是L^2可积的（因为1/(1+te^{2ix})对于(t,x)是L^2可积的）。f(pi/2)=f(-pi/2)=正无穷大。目标是证明f(x)=∑(-1)^ne^{2nix}/2n+1对x属于]-pi/2,pi/2[成立。利用Fubini定理容易验证式子右边的级数实际上是f的傅立叶级数。利用f在]-pi/2,pi/2[上的光滑性和Dini定理，有在]-pi/2,pi/2[上Fourier级数逐点收敛到f。所以，在||x||=1，x非i,-i时，∑(-1)^nx^(2n+1)/2n+1收敛。