Question

【证明】有关多元微积分的一道证明题，高手进！！！

设函数f(x)>0且可微，证明：曲面(z-a)*f(x)+(z-b)*f(y)=0与柱面x^2+y^2=c^2及平面z=0所围的空间体的体积V=0.5*派(a+b)c^2,其中a、b、c大于0

Answer 1

V＝∫∫(D) z dxdy＝∫∫(D) [af(x)+bf(y)]/(f(x)+f(y)) dxdy，D：x^2+y^2≤c^2。
由积分的对称性，∫∫(D) f(x)/(f(x)+f(y)) dxdy＝∫∫(D) f(y)/(f(x)+f(y)) dxdy＝1/2×∫∫(D) [f(x)+f(y)]/(f(x)+f(y)) dxdy＝1/2×∫∫(D) dxdy＝1/2πc^2
所以，V＝0.5×π(a+b)c^2