Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c是奇函数,且其图象与x轴相切

1.求abc的值
2.是否存在不同实数m,n.使y=2-丨f(x)丨的定义域和值域都是【m,n】若存在，求出mn的值若不存在请说明理由

Answer 1

1、因为函数f(x)是奇函数，所以有f(0)=0,能得C=0，再根据f(-x)=-f(x),可得a=0.

这样，f(x)=x^3+bx了。又因为函数的图像与X轴相切，即 f'(0)=0,可得b=0;故有a=b=c=0.

此时  f(x)=x^3.

2、由题意可得：当x>0时，y=2-x^3,其导函数y'=-3x^2<0,故函数是减函数。

当x<0时，y=2+x^3.其导函数y'=3x^2>0,故函数是增函数。图象大致如下图（事实上y=2-|f(x)|是偶函数）。

接下来按区间[m,n]分别在x轴的右侧（0<m<n），左侧(m<n<0)，两侧（m<0<n）三种情况讨论：

下面你会的，我略了。