Question

高中数学 详细解释一下

关于x的方程e^x-ax=0(e为自然对数的底数)有唯一解,则a的取值范围是_______.

Answer 1

设f(x)=e^x。
设过原点(0,0)的直线与f(x)切于点(t,e^t)。
则切线的斜率为e^t/t。
f'(x)=e^x，则切线的斜率又为f'(t)=e^t。
所以，e^t/t=e^t，即t=1，切点为(1,e)、切线斜率为e。
切线方程为y=e(x-1)+e，即y=ex。
若关于x的方程e^x-ax=0有唯一解，则曲线y=e^x与直线y=ax有唯一交点。
所以，a的取值范围是(-无穷,0)U[e,+无穷)。

Answer 2

你好！

e^x = ax
数形结合，方程有唯一解，
即y=e^x的图像和y=ax的图像只有一个交点
由图可知 a<0【在第二象限有一个交点】
或 a=e 【在第一象限相切】

追问

在第一象限相切时，如何判断只有a=e时相切，而a=其他值时不会相切？

追答

f(x)=e^x
f'(x)=e^x
设切点(m,e^m)
在y=ax上，即e^m = am 斜率a = e^m / m
又切线斜率为 f'(m) = e^m
e^m /m = e^m m=1
所以a=e

Answer 3

解：设f(x)=e^x-ax
求导：y'=e^x-a=0 x=lna
函数在x=lna处取得极小值 极小值等于0时，函数有唯一零点
带入解得a=e
a的取值范围是a=e或是a<0

Answer 4

解：设y=e^x-ax
分析易知：y=0有且只有一个解
即y=0的图像和x轴有且只有一个交点
即y=0是单调函数
对y=0求导得：y ' = e^x-a
因为 y=e^x恒大于0
故y '=e^x-a恒大于0
故a < e^x
即 a<= 0 (因为e^x > 0)

Answer 5

只要X不等于0都有唯一解