Question

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已知定义域在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,其 f(x)大于0
1）求证f(x)是周期函数
2)求f(119)
要有详细具体过程，请讲解，谢谢

Answer 1

解：1）证明：由：f(x+2)f(x)=1得：f(x)=1/f(x+2)
对上式的x值赋值为x+2，即有：f(x+2)=1/f(x+4)
所以：f(x)=1/f(x+2)=1/[1/f(x+4)]=f(x+4)
所以，函数f(x)是周期为4的周期函数。
2）函数f(x)是周期为4的周期函数，且119/4=29余3
所以，f(119)=f(3）
其中，由：f(x+2)f(x)=1，令x=1得：f(3）f(1）=1
令x=-1得：f(1）f(-1）=1
由于f(x）是定义在R上的偶函数，所以f(1）=f(-1）
所以，f²(1）=1，又f(x)大于0
所以，f(1）=1
所以，f(119)=f(3）=1/f(1）=1
希望我的回答对你有帮助，goodluck

Answer 2

1)因为偶函数 所以f(x)=f(-x)
f(x+2)f(x)=1 将-x代入得f(-x+2)f(-x)=1
三者联立得f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)
令t=x-2 即x=t+2 上式可化为f(t+4)=f(t)
即f(x)=f(x+4) 为周期为4的函数
2)由周期函数和偶函数的性质
f(119)=f(119-4*30)=f(-1)=f(1)
因为f(x+2)f(x)=1 将x=-1代入得f(1)f(-1)=1 所以f(1)=f(-1)=1 (函数大于0 另一结果-1舍掉)
即f(119)=1

Answer 3

①f(x+2)=1/f(x)=f(x-2)
也就是f(x)=f(x+4)
所以周期为4
②当x=-1时，有f(-1+2)*f(-1)=1
因为f(x)是偶函数，f(-1)=f(1)
f(-1)^2=1
f(-1)=1或-1(函数值大于0，舍)
f(119)=f(4*30-1)=f(-1)=1

Answer 4

1） f(x)=1/f(x+2)=1/[1/f(x+4)]=f(x+4)
所以为周期为4的函数

2） 由周期为四 f(119)=f(-1)
而函数为偶函数,则f(-1)=f(1) 且f(x+2)f(x)=1，令x=-1，得到f(1)f(-1)=1,由于f(x)大于0

得到f(119)=f(-1)=1

Answer 5

解：（1）因为f(x)满足f(x+2)f(x)=1,且f(x)>0
所以f(x+2）=1/f(x)
所以f(x+4)=1/f(x+2)
所以f(x+4)=f (x)
即 T =4
(2)由（1）易知f(119) =f(3)
令x=-1
因为f(x)是偶函数
则f(-1+2)f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)f(1)=1
又因为f(x)>0
故f(-1）=f(1)=1
故f(119)=f(3)=f(-1)=1