Question

概率论与数理统计——多维随机变量及其分布

Answer 1

这道题就是基本概念加上简单的积分运算。基本概念就是密度函数的定义（密度函数在某个区域的积分就是随机变量落在这个区域的概率）。
(1)常数A由归一化确定，就是密度函数在全平面的积分要=1（随机向量总要落在空间里面，不可能落在外面）。
所以∫∫(x、y所有可能范围)Ae^(-x-2y)dxdy=1
也就是∫(0到+∞)Ae^(-x)dx·∫(0到+∞)e^(-2y)dy=1
计算出A·1/2=1得到A=2
(2)联合分布函数就是P(X≤x,Y≤y)这个概率，这是定义。算法还是把密度函数进行积分。
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫(0到x)2e^(-t)dt·∫(0到y)e^(-2s)ds（由于符号不要重复，积分的变量换为t、s，最终得到的结果是关于x、y的式子，楼主应该能理解。）
计算结果（不知道算得对不对）F(x,y)=[1-e^(-x)]·[1-e^(-2y)]
当然范围还是x,y>0
(3)这个就是随机向量落在特定区域的概率，就是密度函数在这个区域上面的积分。
所求的P=∫(0到1)2e^(-x)dx·∫(1/2到1)e^(-2y)dy
计算结果（不知道对不对）应该是(1-1/e)(1/e-1/e²)=1/e·(1-1/e)²。

积分计算最好楼主都验算一下……