Question

高一数学题，急，在线等

关于X的方程sinX+跟3cosX=a（0≤X≤π/2）有两相异根，则实数a的取值范围是（ ）

Answer 1

sinx + (√3)cosx 

= 2[(1/2)sinx + (√3/2)cosx]

= 2[sinxcos(π/3) + cosxsin(π/3)]

= 2sin(x + π/3)

在0 ≤ x≤ π/2范围内，x + π/3 = π/2, 即x = π/6时，2sin(x + π/3)取最大值2。

0 ≤ x≤ π/2，π/3 ≤ x + π/3 ≤ 5π/6

因为在0 ≤ x≤ π/2范围内， 2sin(x + π/3)的图像关于x =  π/6对称，显然最左侧的点为A(0, √3), 该点比x = π/2时图像上的点B(π/2, 1)离对称轴x =  π/6更近，所以a的取值范围是2sin(x + π/3)在[0, π/3]的值域，但不包括最大值点，即 √3 ≤ a < 2。参见图更清楚。