Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2^n。

①设bn=an/2^(n+1)，证明：数列{bn}是等差数列。②求数列{an}的前n项和。
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2^n。 5分①设bn=an/2^(n+1)，证明：数

Answer 1

1、
(n+1)=2an+2^n
等式两边同除以2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1) +1
a(n+1)/2^n -an/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2^(1-1)=1/1=1
数列{an/2^(n-1)}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an/2^(n-1)=1+n-1=n
an=n×2^(n-1)
b1=a1/2^(1+1)=1/4
bn=an/2^(n+1)=n×2^(n-1)/2^(n+1)=n/4
b(n+1)-bn=(n+1)/4-n/4=1/4，为定值。
数列{bn}是以1/4为首项，1/4为公差的等差数列。
2、
an=n×2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=1×2^0+2×2^1+3×2^2+...+n×2^(n-1)
2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Sn-2Sn=-Sn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n -1)/(2-1) -n×2^n=(1-n)×2^n -1
Sn=(n-1)×2^n +1

^表示指数，第二问用错位相减法。