Question

在线性空间V中，设向量β可经α1，α2，...αr线性表示，但不能经α1，α2，...αr-1线性表示

RT：证明向量组α1，α2，...αr-1，αr与向量组α1，α2...αr-1，β等价。

Answer 1

β可经α1，α2，...αr线性表示
=>β=k1α1+k2α2+...+krαr
向量组α1,α2,...,αr-1,β
=向量组α1,α2,...,αr-1,(k1α1+k2α2+...+krαr)
=向量组α1,α2,...,αr-1,αr

追问

最后一步取等号原理是什么？“β不能经α1，α2，...αr-1线性表示”这个条件是有什么作用呢？

追答

β = (k1α1+k2α2+...kr-1αr-1)+krαr
β不能经α1，α2，...αr-1
=> kr不等于0
Any linear combination of 向量组α1,α2,...,αr-1,β
m1α1+m2α2+...+mr-1αr-1+mrβ
=m1α1+m2α2+...+mr-1αr-1 + mr[(k1α1+k2α2+...kr-1αr-1)+krαr]
= (m1+mrk1)+(m2+mrk2)α2+...+(mr-1+mrkr-1)αr-1 + mrkrαr
is a linearly combination of α1,α2,...,αr-1,αr
=> 向量组α1,α2,...,αr-1,β is a subset of 向量组α1,α2,...,αr-1,αr

Any linearly combination of 向量组α1,α2,...,αr-1,αr
n1α1+n2α2,...,+nr-1αr-1+nrαr
= n1α1+n2α2,...,+nr-1αr-1+nr(β -(k1α1+k2α2+...kr-1αr-1))
=(n1-nrk1)+(n2-nrk2)α2,...,+(nr-1-nrkr-1)αr-1+ nrβ
is a linearly combination of α1,α2,...,αr-1,β
=> 向量组α1,α2,...,αr-1,αn is a subset of 向量组α1,α2,...,αr-1,β

ie 向量组α1,α2,...,αr-1,β= 向量组α1,α2,...,αr-1,αr