Question

(2009•重庆)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交

（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且BG=FG．
1.求AE=AC
2.∠E=30，BC=3，求DC的长..

Answer 1

1，证明：连接AG
因为DE垂直AC于F
所以角CFG=90度
角AFG=90度
因为角ABC=90度
所以角ABG=角AFG=90度
因为BG=FG
因为AG=AG
所以直角三角形ABG和直角三角形AFG全等(HL)
所以AB=AF
因为角ABC+角EBG=180度
所以角EBG=90度
因为角CFG=90度
所以角EBG=角CFG=90度
因为角BGE=角FGC(对顶角相等）
BG=FG(已知）
所以直角三角形BEG和直角三角形FCG全等（ASA)
所以BE=FC
因为AE=AB+BE AC=AF+FC
所以AE=AC
2，因为直角三角形BEG和直角三角形FCG全等（已证）
所以角E=角ACB
因为角E=30度
所以角ACB=30度
因为角ABC=90度
所以AC=2AB AB=BC*tanACB=BC*tan30=3分之根号3倍BC
因为BC=3
所以AB=根号3 AC=2倍根号3
因为AB=AF AF+FC=AC
所以FC=根号3
所以AF=FC=根号3
因为DF垂直AC
所以AD=DC
因为AD平行BC
所以角FAD=角ACB=30度
所以在直角三角形AFC中，cosFAD=cos30==AF/AD
AD=根号3/根号3/2=2
所以DC=2