Question

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(m>0)

图：http://hiphotos.baidu.com/qq820572318/pic/item/33f2413097dda1447c89d410b2b7d0a20df4864d.jpg
如图：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(m>0)（1）请求抛物线的函数表达式，并求出顶点M的坐标（用含m的代数式表示）（2）求△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)设抛物线的方程为y=a(x+1)(x-3) ;
因为抛物线与y轴交于点C(0,-3m)(m>0) ;
所以-3m=a*1*(-3) ; 解得a=m ;
可得抛物线的方程为y=mx²-2mx-3m ;
因为y=mx²-2mx-3m=m(x-1)²-4m ;
所以顶点M的坐标为(1,-4m) ;

(2)直线BM的斜率为(0+4m)/(3-1)=2m ;
直线BM的方程为y-0=2m(x-3) ;
C点到直线BM的方程为h=|-3m-6m|/√[(2m)²+1²]=9m/√(4m²+1) ;
S△BCM=(1/2)*h*BM=(1/2)*9m/√(4m²+1)*√[(3-1)²+(0-4m)²]=9m ;
S△ABC=(1/2)*OC*AB=(1/2)*|-3m|*|3-(-1)|=6m ;
S△BCM/ S△ABC=9m/6m=3/2 ;
(3)CM²=√[(1-0)²+(-4m+3m)²]=1+m² ;
MB²=√[(3-1)²+(0-4m)²]=4+16m² ;
BC²=√[(0-3)²+(-3m-0)²]=9+9m² ;
如果∠C=90° :MB²=CM²+BC²
4+16m²=(1+m²)+(9+9m²) ;
解得 m=1 ;
如果∠M=90° : BC²=MB²+CM²
9+9m²=（4+16m²)+(1+m²) ;
解得 m=√2/2 ;
如果∠B=90° : CM²= MB²+BC² ;
1+m²=（4+16m²)+(9+9m²) ;
m无解 ;
所以存在使△BCM为直角三角形的抛物线
解析式为y=√2/2x²-√2x-3√2/2 或 y=x²-2x-3 ;

以上答案仅供参考