Question

等比数列an,前n项和为Sn若Sn+1SnSn-1成等差数列则公比q

Answer 1

设an=a1×q^(n-1)
当q=1时，Sn+1=(n+1)a1，Sn=na1，Sn-1=(n-1)a1。Sn+1、Sn、Sn-1成等差恒成立
当q≠1时，Sn+1=a1[1-q^(n+1)]/(1-q)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，Sn-1=a1[1-q^(n-1)]/(1-q)
由题意可知 Sn+1+Sn-1=2Sn，
a1[1-q^(n+1)]/(1-q)+a1[1-q^(n-1)]/(1-q)=2a1(1-q^n)/(1-q)
无解
综上所述，q=1时，Sn+1、Sn、Sn-1成等差恒成立

Answer 2

q=1时，Sn+1=(n+1)a1 Sn=na1 Sn-1=(n-1)a1
2Sn=2na1 Sn+1=(n+1+n-1)a1=2na1，满足题意。
q≠1时，
Sn²=Sn+1×Sn-1
[a1(q^n -1)/(q-1)]²=[a1(q^(n+1) -1)/(q-1)][a1(q^(n-1) -1)/(q-1)]
整理，得
(q^n -1)^2=[q^(n+1) -1][q^(n-1) -1]
q^(n+1)-2q^n+q^(n-1)=0
等式两边同除以q^(n-1)
q²-2q+1=0
(q-1)²=0
q=1(舍去)
综上，得q=1。

提示：本题要分类讨论，不能直接用等比数列求和公式，因为q=1时，求和公式不适用。如果用了，虽然结果也得到q=1，但过程是错的，因为求和公式分母为q-1，解出q=1是增根。