Question

求问几道高中数学题，麻烦朋友们帮忙看下~ 谢谢

1、已知f(x+1/x)=x³+1/x³ ，求f(x)；
2、已知n∈N ，f(n)= n - 2 (n≥10) ，或f[f(n+5)] (n＜10) ，求f(5)和f(0)的值；

刚刚进入高中课，有些知识点可能有点混。麻烦各位尽量详细的讲下这两道题的解题思路和过程，感激不尽~
有追分的哟~

Answer 1

先引入一个知识点
a'3+b'3=(a+b)(a'2-ab+b'2)
将右边的式子变形 (X+1/X)(X'2-1+1/x'2)
再将右边括号中的部分 变形 (x+1/x)'2-3
所以可得 f(x)=x*(x'2-3)

讨论 5<10
把 n=5代入后一个函数 得
所以代入1式 解得 f(f(5+5))=f(8)=f(f(8+5))=f(f(13))=f(11)=9

f(0)=f(f(5))=f(f(10))=f(f(8))=f(f(f(13)))=f(f(11))=f(9)=f(f(14))=f(12)=10

总结
用程序框图解释
(1)（n>=10?）
（2） no. . . . . . . /. . . ... . . yes
+5 -2
>=10? 输出
no ................./..........yes
进入（2）式 -2
进入（1）式
、

追问

你好，在2中是不是说最后当f(n) (n≥10)的形式为最终结果呢？谢谢

Answer 2

1、已知f(x+1/x)=x³+1/x³ ，求f(x)；
设x+1/x=t
x³+1/x³ =(x+1/x)³-3(x+1/x)
=t³-3t
∴f(t)=t³-3t
∴f(x)=x³-3x
2、已知n属于N*,f(n)=n-2(n≥10);f(n)=f[f(n+5)](n<10),求f(5)和f(0)的值
f(5)=f[f(10)]=f(8)=f[f(13)]=f（11）=9
f(0)=f[f(5)]=f(9)=f[f(14)]=f(12)=10

追问

你好，请问x³+1/x³ =(x+1/x)³-3(x+1/x)这步是从立方和公式来的吗？另外当计算 f(5)=f[f(10)]=f(8)=f[f(13)]=f（11）=9时，为什么不用再进一步的计算f[f(9+5)]…………呢？

追答

1、x³+1/x³ =(x+1/x)³-3(x+1/x) 是，是用立方和公式得来的，
x³+1/x³ =（x+1/x)(x²-1+1/x²)
=(x+1/x)[(x+1/x)²-3]
=(x+1/x)³-3(x+1/x)
2、f(5)≠5-2（n≥10）
f(5)=f[f(5+5)] =f(8) (n<10 )
f(10)=10-2=8 ( n≥10)
f(8)=f[f(8+5)]=f[f(13)] =f(11)=9
f(8)=f[f(8+5)]=f[f(13)] =f(11)=f[f(11+5)]已经违规了 （n<10 ）
恰好f(11)=11-2=9没有违规 n≥10
如果 再进一步的计算f[f(9+5)]=f(12)=f[f(12+5)]就违背了n<10 的规则。

追问

谢谢，麻烦再问下，当f[f(9+5)]=f(12)时，不可以继续计算成f(10)……以此类推吗？

追答

当f[f(9+5)]=f(12)时，不可以继续计算成f(10)
这个可以在f[f(9+5)]中n=9没有违背n<10 的规则
f[f(9+5)]=f(12)=12-2=10 在f(12)=10中n=12,没有违背 n≥10的规则
如果f[f(9+5)]=f(12)=f[f(12+5)] =f(15) n=12就违背n<10 的规则

Answer 3

f（x+1/x)=(x+1/x)((x+1/x)^2-3) 所以f（x）=x^3-3x