Question

谁能证明e+e^1/2+^1/3+. . . +e^1/n>=ln(n+1)+n，我数学不好的尽量明白点，我才会优先选择。

Answer 1

解依题意设 f(x)=e^x-ln（x+1）f'(x)=e^x-1/(x+1)=（x+1)e^x-1/(x+1)
当x>0时，x+1>1,e^x>1 所以（x+1)e^x>1 所以f'(x)=[(x+1)e^x-1]/(x+1)>0恒成立
所以f(x)=e^x-ln（x+1）是（0，+∞）上的增函数
因此x>0时，f(x)>f(0)=1 e^x-ln（x+1）＞1 e^x>1+ln(x+1)
e^1＞1+ln2
e^(1/2)>1+ln3/2
e^(1/3)>1+ln4/3
e^(1/4)>1+ln5/4
..........................
e^(1/n)>1+ln[(n+1)/n]
两边相加可以得到
e+e^(1/2)+e^（1/3）+...+e^（1/n）
>n+ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+.....+ln[(n+10)/n]
=n+ln[2×(3/2)×(4/3)×(5/4)×........×(n+1)/n]
=n+ln(n+1) 所以e+e^1/2+^1/3+. . . +e^1/n>=ln(n+1)+n 希望对你有所帮助

Answer 2

1.当n=1，左边=e=elne >右边=ln2+1=ln2e
当N=K满足上市，也即e+e^1/2+^1/3+. . . +e^1/k>=ln(k+1)+k
当N=K+1,左边=e+e^1/2+^1/3+. . . +e^1/k+e^1/（k+1）>=ln(k+1)+k+e^1/（k+1)
现在证明ln(k+1)+k+e^1/（k+1)>=ln(（k+1)+1)+k+1即可、。

Answer 3

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