Question

如图所示，ABCD是平行四边形，面积是1，F为DC边上的一点，E为AB上的一点，连接AF,BF,DE,CE,AF交DE于G，EC

（接上）FB于H。已知，AE/EB=1、4，阴影三角形BHC的面积是1/8,求三角形ADG的面积。

Answer 1

矩形ABCD的长为a，宽为b，ab=1。
AE=a/5，BE=4a/5，b=1/a。

1.计算F点在CD上的位置：
S△BEH=BE*BC/2-S△BCH
=（4a/5）*（1/a）/2-1/8
=11/40
h1=2*S△BEH/BE (h1为△BEH之BE边上的高)
=2*（11/40）/（4a/5）
=55/（80a）
S△CFH=CF*（b-h1）/2=CF*BC/2-S△BCH
CF*[1/a-55/（80a）]/2=CF*(1/a)/2-1/8
CF*25/（160a）=CF*(80/160a)-20/160
CF*(55/160a)=20/160
CF=4a/11
DF=DC-CF=7a/11

2.计算△ADG的面积：
S△ADG=S△ADE-S△AEG
=AE*AD/2-AE*h2/2 （h2为△AEG之AE边上的高）
=（a/5）*（1/a）/2-（a/5）*h2/2
=1/10-（a/10）*h2 ------------（1）
S△ADG=S△ADF-S△DFG
=DF*AD/2-DF*（AD-h2）/2
=（DF*h2）/2
=[（7a/11）*h2]/2
=(7a/22)*h2 ------------(2)
(2)代入(1)
(7a/22)*h2=1/10-（a/10）*h2
(70a/220)*h2=22/220-(22a/220)*h2
h2=22/(92a)
S△ADG=(7a/22)*h2
=7/92
答：△ADG的面积是7/92。

Answer 2

13.下图中，ABCD是平行四边形，E在AB上，F在DC上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点。已知，平行四边形ABCD的面积为1，AE:EB=1:4，三角形BHC的面是8/1，求三角形ADG的面积。
解：此题主要考的是同学们对梯形蝴蝶定理的认识。首先连接EF。 从图中我们可知S△HBC=S△EFH=1/8，再用4/4+1 × 1/2 - 1/8 = 11/40 = S△EBH，然后运用蝴蝶定理S3×S4=S1×S2,S△CFH=S1=1/8×1/8÷11/40=5/88,接着运用S1:S2=a²:b²，∵FC:BE=5/88:11/40=FC²:16/25 ∴11/40×CF²=5/88×16/25；CF²=16/121；CF=4/11，那么 DF=1-4/11=7/11，最后运用S1：S2：S3：S4=a²：b²:ab:ab，S1:S2:S3:S4=49/121：1/25:7/55:7/55，S△AEG:S△ADG=1/25:7/55，S△ADG=1/5×1/2÷(1/25+7/55)×7/55=7/92
答：三角形ADG的面积是7/92。

Answer 3

依题意得，
S△ade=S△afe=1/4S△fbe=1/5S△abf1/5S△abd=1/10abcd

Answer 4

S△ADG=7/92