Question

已知圆C：（x-1）^2+（y-2）^2=2，过点P作圆C的切线，切点为A,B (1）求直线PA，PB的方程：

（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB方程

Answer 1

(1)设过点P作圆C的切线方程为：y＝k(x－2)－1即kx－y－(2k＋1)＝0
∴圆心C(1，2)到切线的距离为√2 ∴|k－2－2k－1|/√(1＋k²)＝√2
∴(k＋3)²＝2(1＋k²) ∴k²－6k－7＝0 ∴(k＋1)(k－7)＝0 ∴k＝﹣1或7
∴切线方程为：y＝﹣x＋1或y＝7x－15
(2)∵|CP|²＝|CA|²＋|AP|² ∴|AP|²＝|CP|²－|CA|²
∵|CP|²＝(2－1)²＋(﹣1－2)²＝10 |CA|²＝(√2)²＝2
∴过P点的圆的切线长＝√(10－2)＝√8＝2√2
(3)设直线AB方程为：y＝kx＋b AB与CP交于点D
∴|AD|＝|AP|×|AC|/|CP|＝2√2×√2/√10＝4/√10
∴|CD|²＝|AC|²－|AD|²＝2－8/5＝2/5 ∴|CD|＝√(2/5)＝√10/5
∴|PD|＝|CP|－|CD|＝√10－√10/5＝4√10/5
∴|CD|＝|k－2＋b|/√(1＋k²)＝√10/5
|PD|＝|2k＋1＋b|/√(1＋k²)＝4√10/5
解得：k＝3 b＝1
∴直线AB方程为：y＝3x＋1