Question

已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N，AH垂直于MN于点H。

（1）如图1,当角MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：——
（2）如图2，当角MAN绕点A旋转到BM≠ DN时，（1）中的发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请证明；
（3）如图3，已知角MAN=45°，AH垂直于MN与点H，且MN=2，NH=3，求AH的长，(可利用（2）的结论）

Answer 1

1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论。 　　∵AM＝AN、AH⊥MN，　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°，得：△ABM≌△AHM， 　　∴AB＝AH。

2、通过证明AM平分∠BMH，然后由角平分线性质得出结论。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　∴∠AMB＝90°－45°/2。 　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN，　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2。 　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2，AB⊥BM、AH⊥HM，　∴AB＝AH。

3、通过第二个问题的方法得出结论。［此处略］ 第二个问题： 延长MB至E，使BE＝DN。 ∵ABCD是正方形，　∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADN＝90°，又BE＝DN，　∴△ABE≌△ADN， ∴AE＝AN、∠BAE＝∠DAN。 ∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，又∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＋∠BAE＝45°，　∴∠MAE＝45°。 由AE＝AN、AM＝AM、∠MAE＝∠MAN＝45°，得：△MAE≌△MAN，　∴AB＝AH（对应高）。

第三个问题： 由锐角三角函数定义，有：tan∠MAH＝MH/AH＝2/AH、　tan∠NAH＝NH/AH＝3/AH。 而∠MAN＝∠MAH＋∠NAH＝45°，　∴tan（∠MAH＋∠NAH）＝1， ∴（tan∠MAH＋tan∠NAH）/（1－tan∠MAH·tan∠NAH）＝1， ∴tan∠MAH＋tan∠NAH＝1－tan∠MAH·tan∠NAH， ∴2/AH＋3/AH＝1－（2/AH）（3/AH），　∴5AH＝AH^2－6，　∴AH^2－5AH－6＝0， ∴（AH－6）（AH＋1）＝0。 显然有：AH＋1＞0，　∴AH＝6。 ................................................................................................................................................

Answer 2

1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论。 　　∵AM＝AN、AH⊥MN，　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°，得：△ABM≌△AHM， 　　∴AB＝AH。

2、通过证明AM平分∠BMH，然后由角平分线性质得出结论。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　∴∠AMB＝90°－45°/2。 　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN，　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2。 　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2，AB⊥BM、AH⊥HM，　∴AB＝AH。

3、通过第二个问题的方法得出结论。［此处略］ 第二个问题： 延长MB至E，使BE＝DN。 ∵ABCD是正方形，　∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADN＝90°，又BE＝DN，　∴△ABE≌△ADN， ∴AE＝AN、∠BAE＝∠DAN。 ∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，又∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＋∠BAE＝45°，　∴∠MAE＝45°。 由AE＝AN、AM＝AM、∠MAE＝∠MAN＝45°，得：△MAE≌△MAN，　∴AB＝AH（对应高）。

第三个问题： 由锐角三角函数定义，有：tan∠MAH＝MH/AH＝2/AH、　tan∠NAH＝NH/AH＝3/AH。 而∠MAN＝∠MAH＋∠NAH＝45°，　∴tan（∠MAH＋∠NAH）＝1， ∴（tan∠MAH＋tan∠NAH）/（1－tan∠MAH·tan∠NAH）＝1， ∴tan∠MAH＋tan∠NAH＝1－tan∠MAH·tan∠NAH， ∴2/AH＋3/AH＝1－（2/AH）（3/AH），　∴5AH＝AH^2－6，　∴AH^2－5AH－6＝0， ∴（AH－6）（AH＋1）＝0。 显然有：AH＋1＞0，　∴AH＝6。

Answer 3

dabshbwhjkbwajdkbhdwajkbhjbhjbhjkbhbhjbdjskbfyufebkusbfuesfskfuygfshfegsyb fauy n fuoywoefy8yre7yguryguryguireyguyerugoyruiyguiergoeyruieygyegueyguyeruygggyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy