Question

已知函数f（x）满足如下条件：当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），x∈R，且对任意x∈R，都有f（x+2）=...

已知函数f（x）满足如下条件：当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），x∈R，且对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）+1．
求当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，函数f（x）的解析式；

Answer 1

由已知，f (x+2)+1=2f(x)+2=2[f(x)+1]，令an=f(x+2(n-1))+1，则a n+1=2an，且an∈[2n-1,2n+1]所以{an}为以a1=f(x)+1为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=(f(x)+1)×2^(n-1)
当n=k时，得
x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，f(x)=2^(k-1)·(f(x)+1)

Answer 2

因f(x+2)=2f(x)+1,所以f(x+4)=2f(x+2)+1=4f(x)+3,f(x+6)=2f(x+4)+1=8f(x)+7,...,
f(x+2k)=(2^k)f(x)+(2^k)-1,
当x∈(2k-1，2k+1]，x-2k∈(-1，1],所以
f(x)=f[(x-2k)+2k]=(2^k)f(x-2k)+(2^k)-1=(2^k)ln(x-2k+1)+(2^k)-1

Answer 3

f（x）＝㏑[﹙e^k﹚×﹙x-2k+1﹚^﹙2^k﹚] x∈∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时

Answer 4

因为f（x+2）=2f（x）+1，
所以，当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，x-2k∈（-1，1]，
f（x）=2f（x-2）+1=22f（x-4）+2+1=23f（x-6）+22+2+1
=…=2kf（x-2k）+2k-1+2k-2+…+2+1=2kln（x-2k+1）+2k-1