Question

在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点，且要求使圆o的面积最小

在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点，且要求使圆o的面积最小
（1）求证直线l过定点，并求定点坐标；
（2）写圆O的方程
（3）圆O与x轴相交于A,B两点，圆内动点P使向量PO的平方=|向量PA|·|向量PB|，求向量PA·向量PB的取值范围。
主要是第三问

Answer 1

1）直线方程化为 y=m(x-4)+3 ，因此恒过（4，3）。
2）因为圆O面积最小，因此点（4，3）在圆上。
因此圆O的方程为 x^2+y^2=4^2+3^2=25 。

追问

第三问

追答

令 y=0 得 A（-5，0），B（5，0）。
设P（x，y），则 PA=（-5-x，-y），PB=（5-x，-y），
由已知 x^2+y^2=√[(-5-x)^2+(-y)^2]*√[(5-x)^2+(-y)^2] ，
所以 x^2+y^2=√[(x^2+y^2+25)^2-(10x)^2] ，
化简得 50(x^2+y^2)-100x^2+625=0 ，
即 x^2-y^2=25/2 。它是双曲线在圆内的部分。
PA*PB=(-5-x，-y)*(5-x，-y)=x^2+y^2-25=2y^2-25/2 ，
由 x^2+y^2=25 ，x^2-y^2=25/2 得 y^2=25/4 ，
所以，由 0<=y^2<=25/4 得
PA*PB 取值范围是 【-25/2 ，0】