Question

设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0

1.求证b+c+1=0
2.求证c≥3
3.若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c值

Answer 1

-1<=sina<=1
所以在【-1,1】内f（x）=x²+bx+c>=0
1<=2+cosβ<=3
所以在【1,3】内f（x）=x²+bx+c<=0
所以f(1)=1+b+c=0

2、f(3)=9+3b+c<=0
9+3(-1-c)+c<=0
6-2c<=0
c>=3

3、由第一小题知【-1,1】内f（x）=x²+bx+c>=0
在【1,3】内f（x）=x²+bx+c<=0
可知在【-1,3】f(x)递减
所以f（sina）最大值=f(-1)=1-b+c=8
又1+b+c=0
所以b=-4
c=3