Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=α，在四边形BDEC中，DB=DE，∠BDE=2α，M为CE中点，连接AM，DM。

（1）求证：AM⊥DM；
（2）当AM=DM时，试求α值。

Answer 1

（1）
延长CA至F点，使得AB=AC=AF，易知△FBC为直角三角形，∠FBC=90°
延长ED至H点，使得DB=DE=DH，易知△HBE为直角三角形，∠HBE=90°
注意到∠FCB=∠BHE=α（∠BHE+∠HBD=2α）
因此△FBC与△HBE相似
因此有
FB/CB=EB/HB
等效于
FB/EB=CB/HB
根据上述式子，同时注意到∠FBE=∠CBH
因此△FBE相似于△CBH
事实上，△FBE由△CBH绕B点旋转90°后缩放得到
不难根据旋转的特性得到，FE⊥CH
这时，注意到M,A,D分别是CE,FC,EH的中点，因此有
FE平行于AM
CH平行于DM
因此AM⊥DM

（2）
紧接着上面的证明，还可以得到
AM=1/2FE
DM=1/2CH
因此依题意有FE=CH
由于本身有△FBE相似于△CBH
现在得到△FBE全等于△CBH
于是FB=BC
此时，△FBC为等腰直角三角形
易知，α=45°