Question

将和式的极限表示为定积分

Answer 1

原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

设f(x)=x^p
在区间[0,1]做等长分割T,得到n个小区间:
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每个区间中取ξi=i/n

得到黎曼和
∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

所以
原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n
=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∫[0→1]x^pdx

扩展资料：

不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。

所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

定积分 （definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

设f(x)=x^p
在区间[0,1]做等长分割T,得到n个小区间:
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每个区间中取ξi=i/n
得到黎曼和
∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n

所以
原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n
=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)Δxi
=∫[0→1]x^pdx

希望对楼主有所帮助，望采纳！

Answer 3

原式=lim(n→∞)[(1^p+2^p+...+n^p)/n^p]*(1/n)
=lim(n→∞)[1^p/n^p+2^p/n^p+...+n^p/n^p]*(1/n)
=lim(n→∞)[(1/n)^p+(2/n)^p+..+(n/n)^p]*(1/n)
=(1/n)*∑(i=1,n)(i/n)^p
=∫(0,1)x^pdx
=1/(p+1)x^(p+1) |(0,1)
=1/(p+1)