Question

关于线性代数的几个问题。

1.一个矩阵的秩与这个矩阵的行列式有何关系？
2.矩阵的秩与线性是否相关有何联系？
3.一道题，设向量组a1,a2,a3线性无关，则向量组a1+2a2,2a2+3a3,3a3+a1线性相关。题解是计算其系数行列式=12不等于0推出线性无关。这个系数行列式是个什么意义？

Answer 1

1.任何矩阵都有秩，但只有方阵有行列式。方阵为满秩时，其行列式不为0。此命题的逆命题、否命题、逆否命题均正确。
2.应该是向量组的秩与向量是否线性相关有何联系吧？向量组的秩等于向量的个数时，向量线性无关。此命题的逆命题、否命题、逆否命题均正确。
3.若系数行列式A=0，则向量组=A[a1,a2,a3]T，（[a1,a2,a3]T表示[a1,a2,a3]的转置)则向量组的秩<3，由2知向量线性相关。所以A不等于0时，向量组线性无关。