Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a＞b＞0） F1 F2为其左右焦点 P为椭圆上一点 ΔPF1F2重心为G 内心为I

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a＞b＞0） F1 F2为其左右焦点 P为椭圆上一点 ΔPF1F2重心为G 内心为I ，向量IG=λF1F2，λ是实数，求椭圆离心率。
麻烦给个过程，谢谢。

Answer 1

解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，
∴G点坐标为 G（x0/3，y0/3），
∵IG=λF1F2，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为y0/3，
在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴S△F1PF2=1/2•|F1F2|•|y0|
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标y0/3即为内切圆半径，
内心I把△F1PF2 分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴S△F1PF2=1/2（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）|y0/3|
∴1/2•|F1F2|•|y0|=1/2（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）|y0/3|
即1/2×2c•|y0|=1/2（2a+2c）|y0/3|，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e=c/a=1/2