Question

三角形ABC中，a-b=c(cosB-cosA),判断三角形形状

如题
过程

Answer 1

根据正弦定理，
a/sinA=b/sinB=c/sinC,
a/sinA=(-b)/(-sinB)
(a-b)/(sinA-sinB)=c/sinC,(等比）
a-b=c(cosB-cosA),
c(cosB-cosA)/(sinA-sinB)=c/sinC,
c(cosB-cosA)=c*(sinA-sinB)/sinC,
根据三角和差化积公式，
2sin[(B+A)/2]sin[A-B)/2]*sinC=2cos[(A+B)/2]sin(A-B)/2],
sin[(B+A)/2]*sinC=cos[(A+B)/2,
sin[(B+A)/2]*sin[π-（A+B）]=cos[(A+B)/2,
sin[(B+A)/2]*sin（A+B）=cos[(A+B)/2,
sin[(B+A)/2]*2sin[（A+B）/2]*cos[(A+B)/2=cos[(A+B)/2,
cos[(A+B)/2{[2sin(A+B)/2]^2-1}=0,
cos[(A+B)/2=0,
(A+B)/2=π/2，
A+B=π，因三角之和为π，二角和不能是π，故不符合条件，舍去，
2sin(A+B)/2]^2-1=0，
-cos(A+B)=0,
A+B=π/2，
∴三角形是直角三角形。

Answer 2

a-b=c(cosB-cosA)
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R为外接圆半径
所以
2R(sinA-sinB)=2RsinC(cosB-cosA)
sinA-sinB=sinC(cosB-cosA)
2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]=-4sinCsin[(A+B)/2]sin[(B-A)/2]
cos[(180-C)/2]=2sinCsin[(180-C)/2]
cos(90-C/2)=2sinCsin(90-C/2)
sinC=2sinCcos(C/2)
cos(C/2)=1/2
C/2=60
C=120度
那么三角形ABC是钝角三角形

Answer 3

等腰三角形。