Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，点E在AD边上，且AE：ED=1：2，连接CE，点P是AB

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，点E在AD边上，且AE：ED=1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）过点P作PQ∥CE，交BC于Q，设BP=x，CQ=y，
（1）求cosB的值；
（2）求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接EQ，试探索△EQC有无可能是直角三角形？若可能，试求出x的值；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）过点A作AH⊥BC，则BH=3，从而cosB= 3/5．
（2）过点E作EF∥AB交BC于F点，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，
又BP=x，BQ=12-y，
不难得△BPQ∽△FEC，
∴ BP/BQ=FE/FC，即 x/(12-y)=5/10，
∴y=-2x+12，（0＜x＜5）
（3）显然∠ECQ≠90°，且tan∠ECQ=4/7，CE=根65，cos∠ECQ=7/65根65，
若∠EQC=90°，则CQ=7，即y=7，从而x=5/2；
若∠QEC=90°，则cos∠ECQ=EC/QC=7/65根65，即根65/y=7/65根65，
y=7/65，从而x=19/14；
综上，x=5/2或x=19/14．