Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和B(x,0),顶点为P。

若点P的坐标为（-1，k）k<0,点Q是y轴上一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点坐标

Answer 1

因为顶点p坐标为（-1，k）所以对称轴为直线x=-1，所以A,B两点关于直线x=-1对称，所以B点坐标（-3,0）所以B关于Y轴的对称点是D（3,0），连接PD交点即Q点，因为QD+QP最小，所以PD=5，过P做X轴垂线段PH，长为K的绝对值，垂足H坐标为（-1,0），所以HD为4，在直角三角形PHD中，HD=4，PD=5所以PH=3，所以K的值为+3或-3，所以顶点坐标为（-1,3）或（-1，-3）
因为与x轴俩交点为A(1,0)B(-3,0)，根据顶点式，可设Y=a（x-1）（x+3）将顶点坐标带入顶点式，可求出a的值为+3/4或-3/4，带回顶点式，即可得抛物线解析式
已知P点坐标和D点坐标，即可求直线PD的解析式，与Y轴交点坐标，即Q点坐标

总要留点东西你自己做，下面的自己求吧，真正弄懂了，才是对自己真的好，有问题再问吧

Answer 2

解：（1）∵顶点P的坐标为（-1，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将点A（1，0）坐标代入，得a（1+1）2+4=0，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）2+4（或y=-x2-2x+3）；

（2）作点P关于y轴对称点P′（1，k），连接BP′交y轴于点Q，
所以，QP=QP′，
点Q即为所求的使QB+QP取得最小值时的点，
∵点A（1，0），对称轴为直线x=1，
∴点B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值为5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB2+AP′2=BP′2，
即42+k2=52，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴BO/BA=OQ/AP'
即3/4=OQ/3，
∴OQ=9/4．
所以Q点的坐标为（0,-9/4)