Question

如图，正方形abcd的面积是120平方厘米，e是ab的中点，f是bc的中点，四边形bghf的面积是？

Answer 1

正方形中:AB^2=120; AB=2√30； CE^2=BC^2+BE^2=150;
CE=5√6
正方形中：BE||CD;所以三角形BGE与三角形CDG相似，则BE=（1/2)CD=√30;
EG=(1/3)EC; 所以三角形BEG的面积：三角形BCE的面积=1：3
正方形中:三角形BCE与三角形CDF全等；所以∠HCF=∠FDC;∠HFC=∠CEB
所以三角形CFH与三角形BCE相似；所以∠CHF=∠CBE=90°
所以三角形CFH的面积：三角形CBE的面积=CF：CE=√30：5√6=1/√5；
所以四边形BGHF面积=三角形BCE的面积-（三角形BEG面积+三角形CFH的面积）
=SBCE-（1/3)SBCE-(1/√5)SBCE=(2/3)×(1/2)×√30×2√30-（1/√5）×(1/2)×√30×2√30
=20-6√5平方厘米

Answer 2

①解：E是AB的中点，F是BC的中点，则S△BCE=S△DBF=S△DFC=1/4S正ABCD=1/4×120=30平方厘米
连接GF，F是BC的中点，则S△GBF=S△GFC
又有对称性，得S△GBE=S△GBF=S△GFC=30/3=10平方厘米
设S△GHF=x，则S△HFC=10-x
由S△GHF/S△DGF=S△HFC/S△DFC=HF/DF，得x/（30-10）=（10-x）/30，解得x=4
所以四边形BGHF的面积=S△GBF+S△GHF=10+4=14平方厘米.
②易证：BG:GD=BE:CD=1:2
所以 SΔBGC=1/3SΔBCD=20
易证：SΔHCF:SΔDHC=(CF:DC)平方=1:4
所以 SΔHCF=1/5SΔDCF=1/20SABCD=6
所以 SGBFH=14

Answer 3

20-6√5平方厘米