Question

一道数学题！！！急！！！！

已知x,y∈R+，且y=x²，求证：log2 （2^x+2^y)>7/8.
不知道思路，帮忙看看！！！！高一的题，谢谢啊！！！

Answer 1

由均值不等式：
2^x+2^y≥2√[2^(x+y)]
所以log2 （2^x+2^y）≥log2 2√[2^(x+y)] (1)
=1+（x+y)/2
=x²/2+x/2+1
这是一条抛物线，最小值：
[4*1/2*1-(1/2)²]/4*1/2
=7/8
所以log2 （2^x+2^y)≥7/8.

(1)式取等的条件是2^x=2^y，即x=y=x²，解得x=0或1，因为x>0，所以x=1
但抛物线取最小的条件是x=-（1/2)/[2*(1/2)]=-1/2
不可能取到，所以
log2 （2^x+2^y)>7/8.

追问

所以log2 （2^x+2^y）≥log2 2√[2^(x+y)] (1)
=1+（x+y)/2
=x²/2+x/2+1

还不明白

追答

均值不等式知道不？
a+b≥2√ab
就是利用这个

追问

这个知道，（1）后面不明白怎么来的

追答

log2 2√[2^(x+y)]
=log2 2+log2 √[2^(x+y)]
=1+log2 2^[(x+y)/2]
=1+(x+y)/2

Answer 2

我不懂