Question

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k);
(2)求ab的最小值，并求出此时a与b所成的角的大小

Answer 1

因为输入的原因，下面向量我就用大写字母，角度就用小写字母！
kA+B=（kcosa+cosβ ，ksina+sinβ）
A-kB =（cosa-kcosβ ，sina-ksinβ）
所以
（kcosa+cosβ）² +（ksina +sinβ）² = 3（cosa-kcosβ）² +3（sina-ksinβ）²
化简有：
cosacosβ +sinasinβ = （k² +1）/4k
所以 f（k）=（k² +1）/4k = k/4 + 1/4k
（2）由（1）有
f（k）最小 = 0.5 （均值不等式）
当且仅当 k/4 = 1/4k 即 k =1的时候成立
此时
向量a与向量b的数量积 = 0.5
模的积 = 1
所以 夹角余弦值 = 0.5/1 =0.5
所以夹角 = 60°

追问

用导函数求

追答

没必要用那个吧？
用均值不等式就挺好的！
但既然你要求，就做一下给你咯！
f（k）=（k² +1）/4k = k/4 + 1/4k
所以
f '（k）=1/4 - 4/k²
令f '（k）=0
那么，k=1 （-1舍去了！）
因为1>k>0的时候，f '（k）1的时候，f '（k）>0
所以，k=1的时候，f（k）取得极大值点也即最大值为f（1）=0.5
此时
向量a与向量b的数量积 = 0.5
模的积 = 1
所以 夹角余弦值 = 0.5/1 =0.5
所以夹角 = 60°