Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C，其长轴等于4，离心率为2分之根号2，

（1）求椭圆C的标准方程
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且向量MN的模等于向量NE的模？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1>2a=4,a=2,c/a=e=根号2/2,c=根号2.b平方=平方-平方=，标准方程为x平方/4-y平方/2=1.
2>假设存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，使向量MN的模等于向量NE的模。则设M(x1,y1),N(x2,y2).MN的模=根号下(x1-0)平方+(y1-1)平方,向量NE的模=根号下(x2-0)平方+(y2-1)平方.
化简得(x1-0)平方+(y1-1)平方=(x2-0)平方+(y2-1)平方，即（x1+x2）（x1-x2）=（y2-y1）（y2+y1-2）,等式两边同除以（x1-x2），得x1+x2=-k(y1=y2-2).联立y=kx+m与x平方/4-y平方/2=1，得出关于x的一元二次方程，根据韦达定理得出x1+x2,y1+y2.从而反解k的范围