Question

设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=1,S(n+1)=4an+2,求｛an｝通项公式

Answer 1

解：a1=1
令n=1，则S2=4a1+2
a1+a2 =4a1+2
a2 =3a1 +2 = 5.
由 S(n+1)=4an+2 ……①
得 Sn =4a（n=1）+2 ……②
以上两式相减得：a(n+1) = 4an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2【an -2a(n-1)】
【 a(n+1) - 2an】/ 【an -2a(n-1)】= 2
令bn = a(n+1) - 2an 则 上式即 bn/b(n-1) =2
说明 {bn} 是一个首项b1=a2-2a1 = 5 - 2×1 =3，公比为2的等比数列。
∴ bn=3×2^（n-1)
即 a（n+1) - 2an = 3×2^（n-1) ……③
③式两边各项同除以2^（n+1） 得：
a（n+1) / 2^（n+1）- an/2^n = 3/4
再令 cn = an/2^n ，则上式即 c(n+1) - cn = 3/4
说明 {Cn} 是一个首项c1=a1/2^¹ = 1/2 ，公差为 3/4 的等差数列。
∴ Cn = c1 + (n-1)d
= 1/2 + 3(n-1)/4
= 3n/4 -1/4
∴an/2^n = 3n/4 -1/4
∴ an =( 3n/4 -1/4)×2^n
至此，在两次设辅助数列{bn} 、{cn}后，终于算出了{an}的通项公式。