设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=1,S(n+1)=4an+2,求{an}通项公式
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解:a1=1
令n=1,则S2=4a1+2
a1+a2 =4a1+2
a2 =3a1 +2 = 5.
由 S(n+1)=4an+2 ……①
得 Sn =4a(n=1)+2 ……②
以上两式相减得:a(n+1) = 4an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2【an -2a(n-1)】
【 a(n+1) - 2an】/ 【an -2a(n-1)】= 2
令bn = a(n+1) - 2an 则 上式即 bn/b(n-1) =2
说明 {bn} 是一个首项b1=a2-2a1 = 5 - 2×1 =3,公比为2的等比数列。
∴ bn=3×2^(n-1)
即 a(n+1) - 2an = 3×2^(n-1) ……③
③式两边各项同除以2^(n+1) 得:
a(n+1) / 2^(n+1)- an/2^n = 3/4
再令 cn = an/2^n ,则上式即 c(n+1) - cn = 3/4
说明 {Cn} 是一个首项c1=a1/2^¹ = 1/2 ,公差为 3/4 的等差数列。
∴ Cn = c1 + (n-1)d
= 1/2 + 3(n-1)/4
= 3n/4 -1/4
∴an/2^n = 3n/4 -1/4
∴ an =( 3n/4 -1/4)×2^n
至此,在两次设辅助数列{bn} 、{cn}后,终于算出了{an}的通项公式。
令n=1,则S2=4a1+2
a1+a2 =4a1+2
a2 =3a1 +2 = 5.
由 S(n+1)=4an+2 ……①
得 Sn =4a(n=1)+2 ……②
以上两式相减得:a(n+1) = 4an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2an -4a(n-1)
a(n+1) - 2an = 2【an -2a(n-1)】
【 a(n+1) - 2an】/ 【an -2a(n-1)】= 2
令bn = a(n+1) - 2an 则 上式即 bn/b(n-1) =2
说明 {bn} 是一个首项b1=a2-2a1 = 5 - 2×1 =3,公比为2的等比数列。
∴ bn=3×2^(n-1)
即 a(n+1) - 2an = 3×2^(n-1) ……③
③式两边各项同除以2^(n+1) 得:
a(n+1) / 2^(n+1)- an/2^n = 3/4
再令 cn = an/2^n ,则上式即 c(n+1) - cn = 3/4
说明 {Cn} 是一个首项c1=a1/2^¹ = 1/2 ,公差为 3/4 的等差数列。
∴ Cn = c1 + (n-1)d
= 1/2 + 3(n-1)/4
= 3n/4 -1/4
∴an/2^n = 3n/4 -1/4
∴ an =( 3n/4 -1/4)×2^n
至此,在两次设辅助数列{bn} 、{cn}后,终于算出了{an}的通项公式。
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